02 dezembro 2005

Diálogos irónicos

Encontrado a meio de uma leitura este diálogo entre um estudante de filosofia e um professor de matemática.
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Aluno: Professor, o que é uma demonstração matemática?
Professor: Não sabe isso? Em que ano está?
Aluno: No terceiro ano da licenciatura.
Professor: Incrível! Demonstrações são aquilo que me tem visto a fazer no quadro três vezes por semana ao longo dos últimos três anos. Isso é que são demonstrações!
Aluno: Desculpe, creio que não me expliquei bem. Sou estudante de filosofia, nunca assisti à sua cadeira.
Professor: Ah! Bem, nesse caso... teve alguma matemática, não teve? Conhece a demonstração do teorema fundamental da álgebra, ou a do teorema fundamental do cálculo?
Aluno [interrompendo]: Já vi alguns desses raciocínios em geometria e álgebra a que chamam demonstrações, mas o que pretendia não é um exemplo mas sim uma definição. Se assim não for, como posso saber que demonstrações estão certas?
Professor: Bem, creio que isso foi tudo explicado pelo lógico Tarski e mais alguns, como Russell ou Peano. De qualquer maneira, o que se faz numa demonstração é escrever os axiomas da teoria numa linguagem formal com uma dada lista de símbolos ou alfabeto. Escreve-se então a hipótese do teorema no mesmo simbolismo e depois mostra-se que é possível transformar as hipóteses, passo a passo, e utilizando as regras da lógica, até chegar à conclusão. Isto é que é uma demonstração.
Aluno: A sério? Isso é espantoso! Tive cálculo elementar e cálculo avançado, álgebra elementar e topologia e nunca ninguém fez isso.
Professor: Ah, é claro que nunca ninguém realmente faz isso. Nunca mais acabava! Mostra-se apenas que seria possível e isso chega.
Aluno: Mas nem isso se parece com o que vi fazer nas aulas ou com o que constava nos livros das cadeiras. Portanto, os matemáticos não fazem demonstrações!
Professor [irritado]: Claro que fazem, deixe de embirrar. Se um teorema não é demonstrado, então não vale nada.
Aluno: O que é então uma demonstração? Se é uma coisa com uma linguagem formal e regras de transformação, então nunca ninguém demonstra nada. É preciso conhecer as linguagens formais e a lógica formal antes de fazer uma demonstração matemática?
Professor: Claro que não! Quanto menos se souber, melhor. São tudo tolices abstractas, de qualquer maneira.
Aluno: Ok, mas então que é afinal uma demonstração
Professor: Olhe, é um raciocínio que convence alguém que entenda do assunto.
Aluno: Alguém que entenda do assunto? Então a definição de demonstração é subjectiva, depende de certas pessoas. Antes de poder decidir se algo é uma demonstração sou obrigado a decidir quem são os peritos. Que tem isso a ver com demonstrar coisas?!
Professor:Não, não, não. Não há nada de subjectivo nisto. Leia alguns livros, esteja atento nalgumas aulas de um matemático competente e vai perceber de certeza.
Aluno: Tem a certeza?
Professor: Bem... talvez não lhe suceda se não tiver mesmo nenhuma aptidão para isto. Também pode acontecer.
Aluno: Ah... Então o professor decide o que é uma demonstração, e, se eu não aprender a decidir da mesma maneira, o professor decide que eu não tenho aptidão.
Professor: Quem poderá decidir se não eu?